微積分達人請進：定積分&黎曼和

最近我在班上做到兩題充滿疑慮的微積分題目，請諸位達人一起來討論吧！
PS.不懂微積分的的請別來插花

1.當a為下列哪一個選項時，定積分∫-3到a (1+x)(1-x)(1+x^2)dx的值為最大？
(1) -2 (2) -1 (3) 0 (4) 1 (5) 2
【正解】(4)
〈解法〉By微積分基本定理
若F(x)=∫a→x f(t)dt，則F'(x)=f(x)
∴令F(x)=∫-3到a (1+x)(1-x)(1+x^2)dx
　則F'(x)=(1+x)(1-x)(1+x^2)
又∵y=F(x)有極值，則F'(x)=0
　　x區間(-∞,-1] 遞減
　　　　 [-1,1] 遞增
　　　　 [1,∞) 遞減
　∴當ｘ=1時，F(x)有最大值

【班上討論】(1)
〈解法〉
∫-3到a (1+x)(1-x)(1+x^2)dx
=∫-3到a (1-x^4)dx
=x-x^5/5│-3到a
=a-a^5/5-(-3+243/5)
代入選項，則-2最大

2.下列敘述是否正確？
若y=f(x)在(a,b)區間連續且f(x)恆大於0，當等距分割次數越多，黎曼下和越大
【正解】是
〈解法〉By定義
∵下和Ln≦∫a到b f(x)dx≦上和Un
∴等距分割次數越多=>1.黎曼下和越大 2.黎曼上和越小

【班上討論】否
〈解法〉【反例】L2不一定<L3
PS.據聞是老師們討論出來的結果，但尚未找到實例

※Tea Time※
【冷笑話】一日，某人打手機給友人，不過由於收訊不好，他只好一直大喊：「喂？喂？喂？」最後對方終於受不了了，大聲吼了回來：「微甚麼微？都微到只剩下0了還微！」