|
|---|
|
|---|
| [ 主題 ]：微積分達人請進：定積分&黎曼和 |
|---|
|
|---|
|
|---|
最近我在班上做到兩題充滿疑慮的微積分題目，請諸位達人一起來討論吧！
PS.不懂微積分的的請別來插花
1.當a為下列哪一個選項時，定積分∫-3到a (1+x)(1-x)(1+x^2)dx的值為最大？
(1) -2 (2) -1 (3) 0 (4) 1 (5) 2
【正解】(4)
〈解法〉By微積分基本定理
若F(x)=∫a→x f(t)dt，則F'(x)=f(x)
∴令F(x)=∫-3到a (1+x)(1-x)(1+x^2)dx
則F'(x)=(1+x)(1-x)(1+x^2)
又∵y=F(x)有極值，則F'(x)=0
x區間(-∞,-1] 遞減
[-1,1] 遞增
[1,∞) 遞減
∴當ｘ=1時，F(x)有最大值
【班上討論】(1)
〈解法〉
∫-3到a (1+x)(1-x)(1+x^2)dx
=∫-3到a (1-x^4)dx
=x-x^5/5│-3到a
=a-a^5/5-(-3+243/5)
代入選項，則-2最大
2.下列敘述是否正確？
若y=f(x)在(a,b)區間連續且f(x)恆大於0，當等距分割次數越多，黎曼下和越大
【正解】是
〈解法〉By定義
∵下和Ln≦∫a到b f(x)dx≦上和Un
∴等距分割次數越多=>1.黎曼下和越大 2.黎曼上和越小
【班上討論】否
〈解法〉【反例】L2不一定<L3
PS.據聞是老師們討論出來的結果，但尚未找到實例
※Tea Time※
【冷笑話】一日，某人打手機給友人，不過由於收訊不好，他只好一直大喊：「喂？喂？喂？」最後對方終於受不了了，大聲吼了回來：「微甚麼微？都微到只剩下0了還微！」[高中] stu41313 於 2011/04/29 00:37發表｜回應數：1 |
|
|---|
|
|---|
| [ 回應列表 ] 時間排序： ▲ ▼ |
|---|
|
|---|
|
|---|
(xzzzzz3)ㄚ哲
2011/04/29 04:58 | 第一題：-2才對
班上討論是對的
正解是錯的，原因：連續函數F(x)中x=1時，是有"極大值"，x=-1是極小值，
並不是最大值與最小值，題目沒告訴你邊界，所以一定可以找到隨便一個比極大值大或比極小值小的值。
驗算的話就把圖畫出來，他是一個像拋物線的形狀，
X→Y
-3對應-80
-1對應0
0對應1
1對應0
題目問從-3積到a，如果從(-3積到-2)，等於?
你在求從(-3積到-1)和(-3積到0)等於?
你就會發現，(-2到-1)和(-1到1)所構成的大小...
(自己算算看~)
第二題：
正解是對的，"反例"裡面說明的解釋沒錯，
但不是反例，L2也可以大於L3阿
你在算這個函數的範圍是遞減的話那就可以符合了
簡潔的說法~
下黎曼和就是取不超過這個函數的長方形，
上黎曼和就是取超過這個函數圖形的正方形，
課本應該會有圖，下黎曼的長方形不會超過函數，上黎曼和會超過
(如果錯了再說囉XDDD) |
|
|---|
|
|---|
| 發表回應 ▼ |
|---|
|
|---|
|
|---|
